重點摘要

  • 先合併有效牌集合並扣除所有可見牌，才能得到活牌枚數 K。
  • 單摸命中率是 K/N，其中 N 是模型中的未知可摸牌數。
  • 多摸屬於不放回抽樣；至少命中一次應用「1－全部沒中」計算。
  • 直接用單摸機率乘以摸數只是一種粗略近似，可能超過 100% 或高估結果。
  • 若摸牌後手牌會改變、重新棄牌或轉換等待，固定 K 的公式便不夠，必須展開狀態。

第一步：先決定分母 N

機率不能只有「八枚進張」，還要知道從多少張未知牌中抽。

常見的兩種問題：

  1. 從自己下一次摸牌看：分母是對自己而言仍未知、可能位於牌山或他家手中的牌；若要精確描述可摸牌山，還需規則與牌牆資訊。
  2. 簡化牌山模型：假設剩餘可摸區有 N 張，其中 K 張為有效牌。

文章或工具必須說明採哪個模型。把所有未知牌直接當成牌山，會忽略它們也可能在其他玩家手中；但在沒有更多資訊時，可作為條件式估計，不應寫成已知事實。

第二步：求有效牌集合 K

假設 45萬 接受 3萬、6萬，理論上有 8 枚。若：

  • 自己手中已有一張 3 萬；
  • 牌河出現兩張 6 萬；
  • 某家副露再出現一張 3 萬；

則可見的有效牌共 4 張，未知活牌剩 4 張。

若另一搭子也接受 6 萬，不能再把同一批 6 萬加一次。應先求所有有效牌的聯集，再按牌种扣除可見張數。

單摸命中率

在簡化牌山模型中：

下一摸命中率 = K / N

例如 N = 60、K = 8：

8 / 60 = 0.1333…

下一摸約為 13.3%。這個數字只回答下一次抽樣，不表示平均八巡內一定摸到，也不包含他人打出供你吃碰或榮和。

兩摸至少命中一次

第一摸沒中的機率是 (N-K)/N。若第一摸沒中且抽出的牌不放回，第二摸仍沒中的條件機率是 (N-K-1)/(N-1)。

因此：

兩摸至少命中一次
= 1 - [(N-K)/N × (N-K-1)/(N-1)]

以 N = 60、K = 8 為例：

1 - (52/60 × 51/59)
≈ 25.1%

直接用 13.3% × 2 = 26.7% 會略微高估，因為兩次抽樣不是互相獨立。

n 摸至少命中一次

若有效牌集合在 n 次摸牌中維持不變：

至少命中一次
= 1 - C(N-K, n) / C(N, n)

其中 C(a,b) 是從 a 個項目選 b 個的組合數。這就是超幾何分布下「抽 n 次，一張有效牌都沒抽到」的補事件。

也可寫成連乘：

1 - [(N-K)/N
     × (N-K-1)/(N-1)
     × …
     × (N-K-n+1)/(N-n+1)]

NIST 將超幾何分布描述為有限母體中的不放回抽樣；這正是固定牌集合下多摸計算所用的數學框架。

為什麼不能把單巡機率乘以巡數？

n × K/N 忽略三件事：

  1. 已經抽出的牌不放回，分母會變。
  2. 同一條路徑可能在第一摸就命中，不應在第二摸重複計算。
  3. 麻將手牌命中後會改變，後續有效牌集合通常不再是原本 K。

當 K/N 很小、n 很少時，它可作快速近似；正式文章與工具應使用不放回公式或狀態展開。

「兩摸內聽牌」和「兩摸內和牌」不同

一向聽手牌第一摸命中後通常只是進入聽牌，第二摸還要命中新的和牌集合。不能把原本的一向聽受入固定兩摸，就宣稱那是兩摸內和牌率。

正確作法：

  1. 第一摸列出所有降向聽牌。
  2. 對每一種進牌決定新的棄牌。
  3. 重新計算該聽牌的和牌牌與活牌枚數。
  4. 對各路徑按第一摸機率加權。

這也是有限步自摸和牌率比單純受入累乘更複雜的原因。

自摸、榮和與副露機率不能混在一起

自摸只計自己從牌山抽到。榮和依賴他家持牌、出牌選擇、振聽與規則；吃碰又受座位、叫牌優先與策略影響。

所以：

  • 「下一摸命中率」可由抽樣模型計算。
  • 「下一巡有人打出」需要玩家行為模型。
  • 「這一局最終和牌率」還需競爭、流局、攻守與規則資訊。

三者不能使用同一個 K/N 直接回答。

可見牌如何修正機率？

需要計入：

  • 自己手牌；
  • 所有玩家牌河；
  • 吃、碰、明槓與已公開暗槓；
  • 日本麻將的寶牌指示牌；
  • 任何規則下公開可辨認的牌。

未知牌可能在牌山或他家手中。可見牌計數能確定排除已出現的牌，但不能確定未知牌的位置。

常見錯誤

  • 用進張種類數代替剩餘枚數。
  • 忘記重疊進張只能算一次。
  • 把全部未知牌說成全部在牌山。
  • 用單摸機率直接乘以摸數。
  • 一向聽進牌後不重算等待。
  • 把自摸機率當成包含榮和與副露的總和牌率。

適用情境與限制

固定 K 的超幾何模型適合回答「在不放回抽樣中，n 次至少抽到一張指定牌」；它不是完整麻將模擬。實戰中棄牌、他家摸牌、副露、槓與路線切換都會改變狀態。數字必須連同 N、K、摸數、規則與假設一起呈現，不能只給百分比。

用極致聽牌理解有限步機率

極致聽牌會把不同進牌後的新手牌重新評估，而不是把一次受入固定延伸。練習時可先手算下一摸 K/N，再觀察為何兩摸或三摸內結果會受等待品質、重疊與重新棄牌影響。

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