まず分母Nを定義する

「有効牌8枚」だけでは確率になりません。自分から見えない牌は山にも他家の手牌にもあります。一方、単純化したモデルでは、N枚の抽出集合にK枚の有効牌があると仮定します。どちらを使うか明記し、未知牌をすべて山にある既知事実として扱わないでください。

有効牌集合Kを作る

45萬は理論上3萬4枚と6萬4枚を受けます。自分が3萬を1枚持ち、6萬が2枚捨てられ、副露に3萬が1枚あれば、見えている有効牌は4枚、未知は4枚です。別ブロックも6萬を受けるなら同じ牌を加算せず、手牌全体の和集合から種類別に見牌を引きます。

1回のツモ

次のツモで引く確率 = K / N

N=60、K=8なら 8 / 60 = 0.1333…、約13.3%です。「平均8巡以内に必ず引く」という意味ではなく、他家が切って鳴ける確率も含みません。

2回以内に1回以上

1回目に外す確率は (N-K)/N、外れ牌が除かれた後の2回目は (N-K-1)/(N-1) です。

2回以内に1回以上
= 1 - [(N-K)/N × (N-K-1)/(N-1)]

N=60、K=8なら約25.1%です。13.3%を2倍した26.7%は、各抽出を独立とみなすため少し過大です。

n回以内に1回以上

有効牌集合が固定なら次式です。

1回以上引く確率 = 1 - C(N-K, n) / C(N, n)

C(a,b) はa個からb個を選ぶ組み合わせ数です。比率部分はn回すべて非有効牌になる確率で、有限母集団から戻さず引く超幾何分布に基づきます。

1 - [(N-K)/N
     × (N-K-1)/(N-1)
     × …
     × (N-K-n+1)/(N-n+1)]

巡目を単純に掛けない理由

n × K/N は、外れ牌で分母が変わること、1回目の成功を再計数しないこと、成功ツモ後に手牌とKが変わることを無視します。K/Nとnが小さいときの暗算近似にはなりますが、公開値には非復元式か状態展開を使います。

2ツモで聴牌と2ツモで和了は違う

一向聴は、最初の改善で通常聴牌し、次に新しい待ちを引いて和了します。元のKを2回固定しても2ツモ和了確率にはなりません。

  1. 向聴数を下げる全一次ツモを列挙する。
  2. 各ツモ後の打牌を選ぶ。
  3. 新しい待ちと実質枚数を再計算する。
  4. 各2回目経路を1回目の確率で重み付けする。

ツモ、ロン、鳴きは別モデル

ツモは自分の山からの抽出です。ロンは他家の手牌、行動、フリテン、ルールに依存し、チー・ポンは席順、優先順位、戦略にも依存します。K/Nだけで「誰かが今巡切る確率」や最終和了率までは答えられません。

見牌には自分の手牌、全河、副露・明槓、公開された暗槓、ドラ表示牌、ルール上の公開牌を含めます。見牌は不可能な位置を除くだけで、未知牌の場所を特定しません。

適用範囲

固定Kの超幾何モデルは条件付き抽出問題に答えます。捨て牌、他家のツモ、鳴き、槓、経路変更で実際の状態は変わります。パーセントを示す際はN、K、回数、ルール、仮定を併記してください。